GAMES101-L04 变换（模型、视图、投影）

发表于 2023-10-30 更新于 2025-04-16 分类于 games ， games101 ，图形学，笔记

视图变换

相机

相机的位置$\overrightarrow{e}$

相机的视线$\widehat{g}$

相机向上方向$\widehat{t}$

视图变换

将所有物品和相机进行移动，使得相机移动到标准位：相机处于原点，向-Z方向看，向上方向为Y

先将 $\overrightarrow{e}$ 平移到原点，再将 $\widehat{g}$ 旋转到 -Z 方向，再将 $\widehat{t}$ 旋转到 Y 方向，最后将 $(g \times t)$ 旋转到 X 方向。

$M_{\text {view }}=R_{\text {view }} T_{\text {view }}$

1.平移 $\overrightarrow{e}$ 到原点
$T_{\text {view }}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_e \\ 0 & 1 & 0 & -y_e \\ 0 & 0 & 1 & -z_e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2. 旋转 $\widehat{g}$ 到 -Z 方向，旋转 $\widehat{t}$ 到 Y 方向，旋转 $(g \times t)$ 到 X 方向。
$R_{\text {view }}=\begin{bmatrix}x_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_{\hat{g} \times \hat{t}} & 0 \\x_t & y_t & z_t & 0 \\x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

投影

投影分为正交投影和透视投影

视景体

视景体是指由摄像机或观察者所看到的场景的几何形状，它是由6个平面确定的区域，这6个平面分别为上平面（up）、下平面（down）、左平面（left）、右平面（right）、远平面（far）和近平面（near）。视景体内的物体可以被投影到近平面上，而视景体外面的物体则会被裁剪掉。

l（left）：视景体左侧相对于相机的距离。
r（right）：视景体右侧相对于相机的距离。
n（near）：视景体近端相对于相机的距离。
f（far）：视景体远端相对于相机的距离。
t（top）：视景体上侧相对于相机的距离。
b（bottom）：视景体下侧相对于相机的距离。

正交投影

1.定义一个立方体，即视景体$[l,r]\times[b,t]\times[f,n]$
2.将视景体的中心移动到原点
3.将视景体的边长拉升成$[-1,1]^3$
4.得到一个Canonical（正则、规范、标准）立方体

判断远近：使用原立方体的z坐标 $[f,n]$，由于是看向-Z方向，所以当Z坐标值越大，离相机越近，Z坐标值越小，离相机越远

数学表达：
先将中心平移到原点上，然后进行缩放
$M_{\text {ortho }}=\begin{bmatrix}\frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

但由于有之前的视图变换，视景体n、f平面的中心就在Z轴上，所以平移时只需要将视景体沿Z轴平移使中心在坐标原点上。
并且有$r=-l$，$b=-t$。
所以公式可以进行简化
$M_{\text {ortho }}=\begin{bmatrix}\frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

透视投影

根据齐次坐标的定义 $\begin{bmatrix} x / w \\ y / w \\ z / w \\ 1 \end{bmatrix}, w \neq 0$$可知，将里面每个元素乘以$k(k)$后，表示的是同一向量。

在进行透视投影时，先将透视投影的棱台进行挤压，直到变成视景体，即一个长方体，然后再进行正交投影

在挤压时，要遵循：
1.近平面挤压后不变
2.远平面挤压后Z值不变
3.远平面的中心挤压后仍然为中心

对于点$(x,y,z)$被挤压后得到$(x^{\prime},y^{\prime}, z^{\prime})$ ，根据相似三角形可得：
$x^{\prime}=\frac{n}{z} x$
$y^{\prime}=\frac{n}{z} y$

写作齐次坐标为：
$\begin{bmatrix}x \\y \\z \\1\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{bmatrix}n x / z \\n y / z \\\text { unknown } \\1\end{bmatrix}\stackrel{\text { mult. by z }}{==}\begin{bmatrix}n x \\n y \\\text { still unknown } \\z\end{bmatrix}$

于是可以得出$M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }}$为：
$M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }}=\begin{bmatrix}n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

现在需要求出Z坐标，也就是上述矩阵的第三行。

根据以上压缩时遵循的三个原则的第一点，近平面挤压后不变，可以写出以下方程
$\begin{bmatrix}x \\y \\n \\1\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{bmatrix}x \\y \\n \\1\end{bmatrix}==\begin{bmatrix}n x \\n y \\n^2 \\n\end{bmatrix}$

因此，第三行的形式为$\begin{bmatrix}0 &0 &A &B\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}0 &0 &A &B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\ 0\\ A\\ B\end{bmatrix}\=n^2$

即$A n+B=n^2$

根据以上原则的第二点，远平面挤压后Z值不变，可以写出以下方程
$\begin{bmatrix}0 \\0 \\f \\1\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{bmatrix}0 \\0 \\f \\1\end{bmatrix}==\begin{bmatrix}0 \\0 \\f^2 \\f\end{bmatrix}$

即$A f+B=f^2$

联立2个方程，可以解出A、B
$\begin{aligned}& A=n+f \\& B=-n f\end{aligned}$

综上，可以得出$M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }}$为：
$M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }}=\begin{bmatrix}n & 0 & 0 & 0 \\0 & n & 0 & 0 \\0 & 0 & n+f & -nf \\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$